正多角形 Polygon と 星型正多角形 Star polygon


正 n 角形は、三角形(n - 2)個に分けられます。
三角形の内角の和は180度ですから、正 n 角形の内角の和は 180(n - 2) 度になります。
正 n 角形の内角は内角の和を角数nで割れば求めることができます。

正 n 角形の内角は、180(n - 2)/n となります。

正n角形の外角は180度から引けばよいので、
180 - 180(n - 2)/n = 180 - 180 + 360 / n = 360 / n

正 n 角形の外角は、360 / n となります。

星型正多角形では、延長でできた鋭角のみを内角といいます。
この延長でできた三角形は正五角形の場合、外角二つと前記の鋭角からできています。
すなはち、星型正五角形の鋭角 = 180 - (360 / 5) x 2 = 36 となります。

星型正五角形の鋭角(内角)は、36度となります。


<参考>

正 n 角形を星型正多角形に拡張すると、n の値は分数になり、
星型正多角形は辺の数を n(正多角形の角の数と同じ)、
元の正多角形の頂点を結ぶときの飛び数を m として

星型正多角形は正 n/m 角形とすることができます。

例えば、星型五角形では、「正 5/2 角形」または「正 5/3 角形」のようになります。

また、m はこの星型正多角形が何周して元の位置に戻ったかをあらわしています。
この m を星型正多角形の密度といいます。

1 回しか交わっていない星型偶数角形は、その偶数の半分の多角形 2 枚に分解できるため、
正偶数角形から作った星型正多角形は、最低 2 回は交わっていることになります。

星型正多角形は「n と m は同じ数で割り切れない」「n > 2m」の場合のみ可能ですが、
一様多面体の頂点形状をあらわすときには、ある面がほかの面と逆に交差するものは
その面を n/(n - m) と表すことがあります。


星型正 n/m 角形の場合の外角は (360 / n/m) ですから、
星型正 n/m 角形の鋭角(内角)の一般式は、180 - (360 / n) x m の絶対値となります。





正多角形 と 星型正多角形 の関係図

  下図で赤いラインm を示し、青いラインは(星型)正多角形を回転させ組み合わせた形を示しています。 正多角形の関係図

正多角形 と 星型正多角形 の名前と角度と形

正多角形 Polygon

または

星型正多角形 Star polygon
辺の数 n / 飛び数 m
英語名
外角
Exterior Angle

( )内は逆さ向き製図
など特殊用途用
内角
Interior Angle

Shape
メモ
Memo
正三角形
Equilateral triangle
120 (or 240)60三角形3/2 は正三角形と同形

星型正六角形
Star polygon
6/2 (or 6/4)などを参照
正四角形
Square
90 (or 270)90四角形4/3 は正四角形と同形
(星型正四角形)
Star polygon
4/2
(180)0四角星形4/2 は星型には
含めない場合も多い
正五角形
Pentagon
72 (or 288)108五角形
5/4 は正五角形と同形
 
星型正五角形
Star polygon
5/2 or 5/3
Pentagram
144 (or 216)36五角星形
正六角形
Hexagon
60 (or 300)120六角形
6/5 は正六角形と同形

Star polygon
6/2 or 6/4 は
正三角形の組み合わせ
星型正六角形
Star polygon
6/2 or 6/4
Hexagram
120 (or 240)60六角星形
(星型正六角形)
Star polygon
6/3
(180)0六角星形6/3 は星型には
含めない場合も多い

正七角形
Heptagon
51.42 (or 308.58)128.58七角形
7/6 は正七角形と同形

 

 
星型正七角形
Star polygon
7/2 or 7/5
Heptagram
102.84 (or 257.31)77.16七角星形
星型正七角形
Star polygon
7/3 or 7/4
Heptagram
154.29 (or 205.71)25.71七角星形
正八角形
Octagon
45 (or 315)135八角形
8/7 は正八角形と同形

Star polygon
8/2 or 8/6 は
正四角形の組み合わせ

 
星型正八角形
Star polygon
8/2 or 8/6
Octagram
90 (or 270)90八角星形
星型正八角形
Star polygon
8/3 or 8/5
Octagram
135 (or 225)45八角星形
(星型正八角形)
Star polygon
8/4
(180)0八角星形8/4 は星型には
含めない場合も多い
正九角形
Nonagon
40 (or 320)140九角形
9/8 は正九角形と同形




Star polygon
9/3 or 9/6 は
正三角形の組み合わせ

 
星型正九角形
Star polygon
9/2 or 9/7
Enneagram
80 (or 280)100九角星形
星型正九角形
Star polygon
9/3 or 9/6
Enneagram
120 (or 240)60九角星形
星型正九角形
Star polygon
9/4 or 9/5
Enneagram
160 (or 200)20九角星形


正十角形
Decagon
36 (or 324)144十角形
10/9 は正十角形と同形

Star polygon
10/2 or 10/8 は
正五角形の組み合わせ



Star polygon
10/4 は
星型正五角形の組み合わせ
星型正十角形
Star polygon
10/2 or 10/8
Decagram
72 (or 288)108十角星形
星型正十角形
Star polygon
10/3 or 10/7
Decagram
108 (or 252)72十角星形
星型正十角形
Star polygon
10/4 or 10/6
Decagram
144 (or 216)36十角星形
(星型正十角形)
Star polygon
10/5
(180)0十角星形10/5 は星型には
含めない場合も多い
正十一角形
Hendecagon
32.73 (or 327.27)147.27十一角形
11/10 は正十一角形と同形

 

 

 

 
星型正十一角形
Star polygon
11/2 or 11/9
Hendecagram
65.45 (or 294.57)114.55十一角星形
星型正十一角形
Star polygon
11/3 or 11/8
Hendecagram
98.18 (or 261.84)81.82十一角星形
星型正十一角形
Star polygon
11/4 or 11/7
Hendecagram
130.91 (or 229.11)49.09十一角星形
星型正十一角形
Star polygon
11/5 or 11/6
Hendecagram
163.64 (or 196.37)16.36十一角星形
正十二角形
Dodecagon
30 (or 330)150十二角形
12/11 は正十二角形と同形

Star polygon
12/2 or 12/10 は
正六角形の組み合わせ

Star polygon
12/3 or 12/9 は
正四角形の組み合わせ

Star polygon
12/4 or 12/8 は
正三角形の組み合わせ

 
星型正十二角形
Star polygon
12/2 or 12/10
Dodecagram
60 (or 300)120十二角星形
星型正十二角形
Star polygon
12/3 or 12/9
Dodecagram
90 (or 270)90十二角星形
星型正十二角形
Star polygon
12/4 or 12/8
Dodecagram
120 (or 240)60十二角星形
星型正十二角形
Star polygon
12/5 or 12/7
Dodecagram
150 (or 210)30十二角星形
(星型正十二角形)
Star polygon
12/6
(180)0十二角星形12/6 は星型には
含めない場合も多い

正多角形
Polygon
(以下は星型正多角形を略します)
外角
Exterior Angle
内角
Interior Angle

Shape
メモ
Memo
正十三角形
Tridecagon
27.69 (or 332.31)152.31十三角形
13/12 は正十三角形と同形

 

 

 

 

 
星型正十三角形
Star polygon
13/2 or 13/11
Tridecagram
55.38 (or 304.62)124.62十三角星形
星型正十三角形
Star polygon
13/3 or 13/10
Tridecagram
83.08 (or 276.92)96.92十三角星形
星型正十三角形
Star polygon
13/4 or 13/9
Tridecagram
110.77 (or 249.23)69.23十三角星形
星型正十三角形
Star polygon
13/5 or 13/8
Tridecagram
138.46 (or 221.54)41.54十三角星形
星型正十三角形
Star polygon
13/6 or 13/7
Tridecagram
166.15 (or 193.85)13.85十三角星形
正十四角形
Tetradecagon
25.71 (or 334.29)154.29十四角形
14/13 は正十四角形と同形
正十五角形
Pentadecagon
24 (or 336)156十五角形
15/14 は正十五角形と同形
正十六角形
Hexadecagon
22.5 (or 337.5)157.5十六角形
16/15 は正十六角形と同形
正十七角形
Heptadecagon
21.18 (or 338.82)158.82十七角形
17/16 は正十七角形と同形
正十八角形
Octadecagon
20 (or 340)160十八角形
18/17 は正十八角形と同形
正十九角形
Enneadecagon
18.95 (or 341.05)161.05十九角形
19/18 は正十九角形と同形
正二十角形
Icosagon
18 (or 342)162二十角形
20/19 は正二十角形と同形